2649. Точки M
и N
лежат на сторонах соответственно AD
и BC
ромба ABCD
, причём DM:AM=BN:NC=2:1
. Найдите MN
, если известно, что сторона ромба равна a
, а \angle BAD=60^{\circ}
.
Ответ. \frac{a\sqrt{13}}{3}
.
Указание. Через вершину A
проведите прямую, параллельную MN
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через вершину A
параллельно MN
, пересекает сторону BC
в точке K
. Тогда AK=MN
, BK=\frac{1}{3}BC
. По теореме косинусов из треугольника ABK
находим, что
AK^{2}=AB^{2}+BK^{2}-2AB\cdot BK\cos120^{\circ}=a^{2}+\frac{1}{9}a^{2}+\frac{1}{3}a^{2}=\frac{13}{9}a^{2}.
Следовательно, MN=AK=\frac{a\sqrt{13}}{3}
.