2656. Окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны AB
в точке M
, при этом AM=1
, BM=4
. Найдите CM
, если известно, что \angle BAC=120^{\circ}
.
Ответ. \sqrt{273}
.
Указание. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается стороны AC
в точке K
. Обозначьте CK=x
и с помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно x
.
Решение. Пусть окружность, вписанная в треугольник ABC
, касается сторон AC
и BC
в точках K
и N
соответственно. Обозначим CK=x
. Тогда
CN=CK=x,~AK=AM=1,~BN=BM=4,~AC=x+1,~BC=x+4.
По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos120^{\circ},~\mbox{или}(x+4)^{2}=25+(x+1)^{2}+5(x+2).
Из этого уравнения находим, что x=15
.
По теореме косинусов из треугольника ACM
находим, что
CM^{2}=AC^{2}+AM^{2}-2AC\cdot AM\cos120^{\circ}=16^{2}+1+16=273.
Следовательно, CM=\sqrt{273}
.