2658. Диагонали выпуклого четырёхугольника равны c
и d
и пересекаются под углом 45^{\circ}
. Найдите отрезки, соединяющие середины противоположных сторон четырёхугольника.
Ответ. \frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+d^{2}\pm cd\sqrt{2}}
.
Решение. Пусть диагонали AC
и BD
выпуклого четырёхугольника ABCD
равны c
и d
соответственно, пересекаются в точке O
и \angle AOB=45^{\circ}
. Если K
, P
, M
и N
— середины сторон соответственно AB
, CD
, BC
и AD
, то KM
и KN
— средние линии треугольников ABC
и BAD
, поэтому
KM\parallel AC,~KM=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}c,
KN\parallel BD,~KN=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}d,
\angle MKN=\angle AOB=45^{\circ},~\angle KMP=180^{\circ}-\angle MKN=135^{\circ}.
Из треугольников KMN
и KPM
по теореме косинусов находим, что
MN^{2}=KM^{2}+KN^{2}-2KM\cdot KN\cos45^{\circ}=\frac{1}{4}c^{2}+\frac{1}{4}d^{2}-\frac{1}{4}cd\sqrt{2}=\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}-cd\sqrt{2}),
KP^{2}=MK^{2}+MP^{2}-2MK\cdot MP\cos135^{\circ}=\frac{1}{4}c^{2}+\frac{1}{4}d^{2}+\frac{1}{4}cd\sqrt{2}=\frac{1}{4}(c^{2}+d^{2}+cd\sqrt{2}).
Следовательно,
MN=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+d^{2}-cd\sqrt{2}},~KP=\frac{1}{2}\sqrt{c^{2}+d^{2}+cd\sqrt{2}}.
