2659. Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, удалён от вершин острых углов на расстояния a
и b
. Найдите гипотенузу.
Ответ. \sqrt{a^{2}+b^{2}+ab\sqrt{2}}
.
Указание. Если биссектрисы углов A
и B
треугольника ABC
пересекаются в точке O
, то \angle AOB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине C
, причём OA=a
, OB=b
. Поскольку OA
и OB
— биссектрисы углов при вершинах A
и B
, то
\angle AOB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle C=90^{\circ}+45^{\circ}=135^{\circ}.
По теореме косинусов из треугольника AOB
находим, что
BC^{2}=OA^{2}+OB^{2}-2OA\cdot OB\cos135^{\circ}=a^{2}+b^{2}+ab\sqrt{2}.