2660. Точка M
лежит на стороне BC
параллелограмма ABCD
с углом 45^{\circ}
при вершине A
, причём \angle AMD=90^{\circ}
и BM:MC=2:3
. Найдите отношение соседних сторон параллелограмма.
Ответ. 2\sqrt{2}:5
.
Указание. Примените теорему косинусов и теорему Пифагора.
Решение. Обозначим BM=2x
, CM=3x
, AB=CD=y
. Из треугольников ABM
и CDM
по теореме косинусов находим, что
AM^{2}=4x^{2}+y^{2}+2xy\sqrt{2},~DM^{2}=9x^{2}+y^{2}-3xy\sqrt{2}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника AMD
находим, что
AM^{2}+MD^{2}=AD^{2},~\mbox{или}~4x^{2}+y^{2}+2xy\sqrt{2})+(9x^{2}+y^{2}-3xy\sqrt{2})=25x^{2},~\mbox{или}
12x^{2}+xy\sqrt{2}-2y^{2}=0,
откуда \frac{y}{x}=2\sqrt{2}
. Следовательно,
\frac{AB}{BC}=\frac{y}{5x}=\frac{2\sqrt{2}}{5}.