2665. В треугольнике ABC
известно, что \angle A=\alpha
, \angle C=\beta
, AB=a
; AD
— биссектриса. Найдите BD
.
Ответ. \frac{a\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой синусов.
Решение. Угол ADB
— внешний угол треугольника ADC
, поэтому
\angle ADB=\angle DAC+\angle ACB=\frac{\alpha}{2}+\beta.
По теореме синусов из треугольника ADB
находим, что
\frac{AB}{\sin\angle ADB}=\frac{BD}{\sin\angle BAD},
или
\frac{a}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)}=\frac{BD}{\sin\frac{\alpha}{2}},
откуда
BD=\frac{a\sin\frac{\alpha}{2}}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}+\beta\right)}.