2670. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна a
, средняя линия равна b
, а один из углов при большем основании равен 30^{\circ}
. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
Ответ. \sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}
.
Указание. Проекция диагонали равнобедренной трапеции на большее основание равна средней линии трапеции.
Решение. Пусть F
— проекция вершины C
меньшего основания BC
равнобедренной трапеции ABCD
на большее основание AD
. Тогда отрезок AF
равен средней линии трапеции, а так как в прямоугольном треугольнике CFD
угол D
равен 30^{\circ}
, то CF=\frac{1}{2}CD
. Из прямоугольного треугольника ACF
находим, что
AC=\sqrt{AF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.
Если R
— радиус окружности, описанной около треугольника ACD
, то
R=\frac{AC}{2\sin\angle D}=\sqrt{b^{2}+\frac{a^{2}}{4}}.
Осталось заметить, что окружность, описанная около треугольника ACD
, совпадает с окружностью, описанной около трапеции ABCD
.
