2673. Углы треугольника равны \alpha
, \beta
и \gamma
, а периметр равен P
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. \frac{P\sin\alpha}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}
,
\frac{P\sin\beta}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}
,
\frac{P\sin\gamma}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой синусов.
Решение. Обозначим стороны треугольника, противолежащие углам \alpha
, \beta
и \gamma
, через a
, b
и c
соответственно. По теореме синусов
b=a\cdot\frac{\sin\beta}{\sin\alpha},~c=a\cdot\frac{\sin\gamma}{\sin\alpha}.
Поскольку a+b+c=P
, то
a+\frac{a\sin\beta}{\sin\alpha}+\frac{a\sin\gamma}{\sin\alpha}=P,
откуда находим, что
a=\frac{P\sin\alpha}{\sin\alpha+\sin\beta+\sin\gamma}.
Аналогично находим b
и c
.