2674. Одна из боковых сторон трапеции образует с большим основанием угол \alpha
, а вторая равна a
и образует с меньшим основанием угол \beta
(\beta\gt\alpha
). Найдите среднюю линию трапеции, если меньшее основание равно b
.
Ответ. b+\frac{a\sin(\beta-\alpha)}{2\sin\alpha}
.
Указание. Через вершину меньшего основания трапеции проведите прямую, параллельную противоположной боковой стороне.
Решение. Пусть BC
— меньшее основание трапеции ABCD
, в которой \angle BAD=\alpha
, \angle BCD=\beta
, BC=b
и CD=a
. Через вершину C
проведём прямую, параллельную боковой стороне AB
, до пересечения с основанием AD
в точке K
. Тогда
\angle BCK=\angle BAD=\alpha,~\angle DCK=\angle BCD-\angle BCK=\beta-\alpha.
По теореме синусов из треугольника DCK
находим, что
DK=\frac{CD\sin\angle DCK}{\sin\angle DKC}=\frac{a\sin(\beta-\alpha)}{\sin\alpha},
следовательно, средняя линия трапеции ABCD
равна
\frac{1}{2}(BC+AD)=\frac{1}{2}(BC+AK+KD)=\frac{1}{2}(2BC+KD)=
=BC+\frac{1}{2}KD=b+\frac{a\sin(\beta-\alpha)}{2\sin\alpha}.