2676. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Прямая, проходящая через точку A
, вторично пересекает эти окружности в точках C
и D
, причём точка A
лежит между C
и D
, а хорды AC
и AD
пропорциональны радиусам своих окружностей. Докажите, что биссектрисы углов ADB
и ACB
пересекаются на отрезке AB
.
Указание. Докажите, что BA
— биссектриса треугольника BCD
.
Решение. Пусть точка C
лежит на окружности радиуса r
, а точка D
— на окружности радиуса R
. Тогда
BC=2r\sin\angle BAC,
BD=2R\sin\angle BAD=2R\sin(180^{\circ}-\angle BAC)=2R\sin\angle BAC.
Поэтому
\frac{BC}{BD}=\frac{r}{R}=\frac{AC}{AD}.
Значит, BA
— биссектриса треугольника BCD
, а так как биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, то биссектрисы углов C
и D
пересекаются на отрезке AB
.