2677. Найдите площадь треугольника
ABC
, если известно, что
AB=a
,
\angle A=\alpha
,
\angle B=\beta
.
Ответ.
\frac{a^{2}\sin\alpha\sin\beta}{2\sin(\alpha+\beta)}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой синусов.
Решение. По теореме синусов
\frac{AC}{\sin\angle B}=\frac{AB}{\sin\angle C}
, откуда
AC=\frac{AB\sin\angle B}{\sin\angle C}=\frac{a\sin\beta}{\sin(180^{\circ}-(\alpha+\beta))}=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.

Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin\angle A=\frac{1}{2}\cdot\frac{a^{2}\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}.

Источник: Шарыгин И. Ф. Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задачи к творческой: Учебное пособие. — М.: Дрофа, 1996. — № 15, с. 6
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — № 3.11, с. 33
Источник: Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. — 6-е изд. — М.: МЦНМО, 2007. — № 12.3, с. 289