2678. Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведённая к третьей, равна 5. Найдите площадь треугольника.
Ответ. 48.
Указание. На продолжении медианы AM
за точку M
отложите отрезок MD
, равный AM
.
Решение. Пусть AM
— медиана треугольника ABC
, причём AM=5
, AB=10
, AC=12
. На продолжении медианы AM
за точку M
отложим отрезок MD
, равный AM
. Тогда ABDC
— параллелограмм с диагоналями BC
и AD
, а площадь треугольника ABC
равна площади равнобедренного треугольника ABD
, в котором AB=AD=10
, BD=12
. Высоту AH
треугольника ABD
находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABH
:
AH=\sqrt{AB^{2}-BH^{2}}=\sqrt{100-36}=8.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AH=\frac{1}{2}\cdot12\cdot8=48.
