2698. Точка C
— середина отрезка AB
. На отрезках AC
и BC
взяты точки M
и N
, причём AM:MC=CN:NB
. Докажите, что отрезок MN
равен половине отрезка AB
.
Указание. Обозначьте AM:MC=CN:NB=k
и выразите отрезки MC
и CN
через AC
и BM
.
Решение. Обозначим AM:MC=CN:NB=k
. Тогда
\frac{MC}{AC}=\frac{1}{k+1},~\frac{CN}{BC}=\frac{k}{k+1},
поэтому
MC=\frac{1}{k+1}AC,~CN=\frac{k}{k+1}BC,
следовательно,
MN=MC+CN=\frac{1}{k+1}AC+\frac{k}{k+1}BC=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{k+1}AB+\frac{1}{2}\cdot\frac{k}{k+1}AB=
=\frac{1}{2}AB\left(\frac{1}{k+1}+\frac{k}{k+1}\right)=\frac{1}{2}AB\cdot\frac{k+1}{k+1}=\frac{1}{2}AB.