2704. Точки A
, B
и C
расположены на одной прямой, причём AC:BC=m:n
(m
и n
— натуральные). Найдите отношения AC:AB
и BC:AB
.
Ответ. Если m\lt n
, то AC:AB=m:(m+n)
, BC:AB=n:(m+n)
или AC:AB=m:(n-m)
, BC:AB=n:(n-m)
.
Если m\gt n
, то AC:AB=m:(m+n)
, BC:AB=n:(m+n)
или AC:AB=m:(m-n)
, BC:AB=n:(m-n)
.
Если m=n
, то оба отношения равны \frac{1}{2}
.
Указание. Рассмотрите все три случая взаимного расположения точек A
, B
и C
.
Решение. Пусть точка C
расположена между A
и B
. На отрезок AC
приходится m
частей, на отрезок BC
— n
частей, на отрезок AB
— m+n
частей. Следовательно,
\frac{AC}{AB}=\frac{m}{m+n},~\frac{BC}{AB}=\frac{n}{m+n}.
Пусть точка A
расположена между B
и C
. Тогда AC\lt BC
, поэтому m\lt n
. На отрезок BC
приходится n
частей, на отрезок AC
— m
частей, на отрезок AB
— n-m
частей. Следовательно,
\frac{AC}{AB}=\frac{m}{n-m},~\frac{BC}{AB}=\frac{n}{n-m}.
Пусть точка B
расположена между A
и C
. Тогда BC\lt AC
, поэтому m\gt n
. На отрезок BC
приходится n
частей, на отрезок AC
— m
частей, на отрезок AB
— m-n
частей. Следовательно,
\frac{AC}{AB}=\frac{m}{m-n},~\frac{BC}{AB}=\frac{n}{m-n}.