2706. Даны точки A
и B
. Где на прямой AB
расположены точки, расстояние от которых до точки B
больше, чем до точки A
?
Ответ. На луче с началом в середине отрезка AB
, содержащем точку A
.
Решение. Пусть M
— середина отрезка AB
. Докажем, что расстояние от любой точки X
луча MB
до точки A
больше, чем расстояние от X
до точки B
. Действительно, если точка лежит на отрезке MB
, то
XA=XM+AM=XM+MB\gt XM+XB\gt XB.
Если точка X
лежит на луче MB
, но вне отрезка MB
, то
XA=XB+AB\gt XB.
Ясно, что для самой точки B
это утверждение также верно.
Аналогично докажем, что расстояние от любой точки Y
луча MA
до точки A
меньше, чем расстояние от Y
до B
.
Таким образом, если расстояние от некоторой точки прямой AB
до точки B
больше, чем до точки A
, то эта точка не может лежать на луче MB
. Следовательно, она лежит на луче MA
.