2716. Даны точки A
и B
. Для каждой точки M
, не совпадающей с точкой B
и лежащей на прямой AB
, рассмотрим отношение AM:BM
. Где расположены точки, для которых это отношение а) больше 2, б) меньше 2?
Ответ. Пусть M_{1}
и M_{2}
— точки, в которых указанное отношение равно 2. а) Все отличные от B
точки между M_{1}
и M_{2}
; б) все точки прямой, не лежащие на отрезке M_{1}M_{2}
.
Решение. Пусть точка M_{1}
лежит на отрезке AB
, причём AM_{1}:M_{1}B=2
. Если M
— произвольная точка, лежащая между M_{1}
и B
, то
\frac{AM}{MB}\gt\frac{AM_{1}}{MB}\gt\frac{AM_{1}}{M_{1}B}=2.
Пусть точка M_{2}
лежит на продолжении отрезка AB
за точку B
, причём B
— середина отрезка AM_{2}
. Если M
— произвольная точка, лежащая между B
и M_{2}
, то AB\gt MB
, поэтому
\frac{AM}{MB}=\frac{AB+MB}{MB}=\frac{AB}{MB}+1\gt1+1=2.
Если точка M
лежит на продолжении отрезка M_{1}M_{2}
за точку M_{1}
, то
\frac{AM}{MB}\lt\frac{AM_{1}}{MB}\lt\frac{AM_{1}}{M_{1}B}=2.
Если точка M
лежит на продолжении отрезка M_{1}M_{2}
за точку M_{2}
, то
\frac{AM}{MB}\lt\frac{AM_{2}}{MB}\lt\frac{AM_{2}}{M_{2}B}=2.