2719. Через точку на плоскости провели 10 прямых, после чего плоскость разрезали по этим прямым на углы. Докажите, что хотя бы один из этих углов меньше 20^{\circ}
.
Указание. Предположите, что каждый из полученных углов не меньше 20^{\circ}
.
Решение. Десять прямых, проведённых через одну точку, разбивают плоскость на 20 углов. Если все они не меньше 20^{\circ}
, то их сумма не меньше
20\cdot20^{\circ}=400^{\circ}\gt360^{\circ},
что невозможно.
Источник: Шень А. Х. Геометрия в задачах. — М.: МЦНМО, 2013. — № 29, с. 14