2726. Из точки O
на плоскости выходят четыре луча, следующие друг за другом по часовой стрелке: OA
, OB
, OC
и OD
. Известно, что сумма углов AOB
и COD
равна 180^{\circ}
. Докажите, что биссектрисы углов AOC
и BOD
перпендикулярны.
Решение. Рассмотрим случай, изображённый на рисунке. Положим \angle AOB=2\alpha
, \angle BOC=2\beta
, \angle COD=2\gamma
. По условию 2\alpha+2\gamma=180^{\circ}
.
Пусть K
и M
— точки на биссектрисах углов AOC
и BOD
соответственно. Тогда
\angle KOC=\alpha+\beta,~\angle BOM=\beta+\gamma.
Следовательно,
\angle KOM=\angle KOC+\angle BOM-\angle BOC=
=(\alpha+\beta)+(\beta+\gamma)-2\beta=\alpha+\gamma=90^{\circ}.
Утверждение остаётся верным и при других расположениях лучей. Нужно лишь требовать, чтобы оба угла AOB
и COD
отсчитывались в одном направлении (например, по часовой стрелке). Доказательство аналогично.