2732. На сторонах AB
, BC
и CA
треугольника ABC
взяты соответственно такие точки D
, E
и F
, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ADF
, BDE
и CEF
, равны. Пусть радиус каждой из этих окружностей равен r_{1}
, а радиус окружности, вписанной в треугольник DEF
, равен r_{0}
. Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC
, равен r_{0}+r_{1}
.
Решение. Пусть окружность с центром O_{1}
, вписанная в треугольник ADF
, касается его сторон AD
, AF
и DF
в точках соответственно N
, H
и P
; окружность, с центром O_{2}
, вписанная в треугольник BDE
, касается его сторон BD
, BE
и DE
в точках соответственно M
, G
и K
; окружность, с центром O_{3}
, вписанная в треугольник CEF
, касается его сторон CF
, CE
и EF
в точках N
, соответственно Q
, T
и U
. Обозначим полупериметры треугольников DEF
, BDE
, ADF
, CEF
и ABC
через p_{0}
, p_{1}
, p_{2}
, p_{3}
и p
соответственно. Тогда
O_{1}O_{2}=MN=MD+DN=DK+DP,
O_{1}O_{3}=HQ=HF+FQ=FP+FU,
O_{2}O_{3}=GT=GE+ET=EK+EU,
значит,
O_{1}O_{2}+O_{1}O_{3}+O_{2}O_{3}=DK+DP+FP+FU+EK+EU=
=(DK+EK)+(EU+FU)+(FP+DP)=DE+EF+DF=2p_{0}.
Следовательно, полупериметры треугольников O_{1}O_{2}O_{3}
и DEF
равны. При этом сумма периметров треугольников BDE
, ADF
и CEF
равна сумме периметров треугольников ABC
и DEF
, поэтому
p_{1}+p_{2}+p_{3}=p+p_{0}.
Чтобы получить площадь треугольника O_{1}O_{2}O_{3}
, нужно из площади треугольника ABC
вычесть сумму площадей трапеций AO_{1}O_{1}B
, AO_{1}O_{3}C
и BO_{2}O_{3}C
, высоты которых равны r_{1}
. Эта сумма равна
\frac{1}{2}(AB+O_{1}O_{2})r_{1}-\frac{1}{2}(AC+O_{1}O_{3})r_{1}-\frac{1}{2}(BC+O_{2}O_{2})r_{1}=
=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)r_{1}+\frac{1}{2}(O_{1}O_{2}+O_{1}O_{1}+O_{2}O_{3})r_{1}=pr_{1}+p_{0}r_{1}=(p+p_{0})r_{1}.
С другой стороны, чтобы получить площадь треугольника DEF
, нужно из площади треугольника ABC
вычесть сумму площадей треугольников BDE
, ADF
и CEF
. Эта сумма равна
p_{1}r_{1}+p_{2}r_{1}+p_{3}r_{1}=(p_{1}+p_{2}+p_{3})r_{1}=(p+p_{0})r_{1}.
Значит, и полупериметры, и площади треугольников O_{1}O_{2}O_{3}
и DEF
равны. Следовательно, равны и радиусы их вписанных окружностей. Но радиус окружности, вписанной в треугольник O_{1}O_{2}O_{3}
, равен r_{0}+r_{1}
. Отсюда следует утверждение задачи.