2733. Основания трапеции равны a
и b
. Известно, что через середину одной из её боковых сторон можно провести прямую, делящую трапецию на два четырёхугольника, в каждый из которых можно вписать окружность. Найдите другую боковую сторону этой трапеции.
Ответ. a+b
.
Указание. Пусть продолжения сторон BM
и CN
описанного четырёхугольника BCNM
пересекаются в точке P
, а продолжения сторон BC
и MN
— в точке Q
. Докажите, что PC+MQ=PM+CQ
.
Решение. Пусть прямая, проходящая через середину M
боковой стороны AB
трапеции ABCD
с основаниями AD=a
и BC=b
, пересекает боковую сторону CD
в точке N
, а продолжения оснований AD
и BC
— в точках L
и Q
соответственно. Тогда MQ=LM
и LA=BQ
.
Пусть окружность, вписанная в четырёхугольник BCNM
касается его сторон BC
, CN
, NM
и BM
в точках X
, Y
, Z
и T
. Если прямые AB
и CD
пересекаются в точке P
, то
PC+MQ=PY-CY+MZ+QZ=PT-CX+MT+QX=
=(PT+MT)+(QX-CX)=PM+CQ.
Аналогично докажем, что
PD+LM=LD+MP.
Вычитая почленно первое равенство из второго и используя равенства MQ=LM
и LA=BQ
, получим, что
PD+LM-PC-MQ=LD+MP-PM-CQ,
PD-PC+LM-MQ=LD+MP-PM-CQ,
PD-PC=LD-CQ,
CD=LD-CQ=(LA+AD)-(BQ-BC)=(LA-BQ)+(AD+BC)=
=AD+BC=a+b.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1995-96, II, 1-й тур, 11 класс