2734. Высота, биссектриса и медиана, выходящие из одной вершины треугольника, соответственно равны \sqrt{3}
, 2 и \sqrt{6}
. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Ответ. 2.
Указание. Пусть AA_{1}
, AA_{2}
и AA_{3}
— соответственно высота, медиана и биссектриса треугольника ABC
, O
— центр описанной окружности. Тогда
\angle AA_{2}A_{1}=60^{\circ},~\angle AA_{3}A_{1}=45^{\circ},
а треугольники OAA_{3}
и A_{2}A_{3}A
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Решение. Пусть AA_{1}
, AA_{2}
и AA_{3}
— соответственно высота, биссектриса и медиана треугольника ABC
, R
— радиус окружности, описанной около треугольника ABC
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AA_{1}A_{2}
и AA_{1}A_{3}
находим, что A_{1}A_{2}=1
и A_{1}A_{3}=\sqrt{3}
, поэтому
\angle AA_{2}A_{1}=60^{\circ},~\angle AA_{3}A_{1}=\angle A_{1}AA_{3}=45^{\circ}.
Поскольку AA_{2}A_{1}
— внешний угол треугольника AA_{3}A_{2}
, то
\angle A_{2}AA_{3}=\angle AA_{2}A_{1}-\angle AA_{3}A_{2}=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}.
Пусть продолжение биссектрисы AA_{2}
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке D
, O
— центр окружности. Тогда D
— середина дуги BC
, поэтому прямая OD
проходит через середину хорды BC
и перпендикулярна ей. Значит,
OD\parallel AA_{1},~\angle ODA=\angle DAA_{1}=30^{\circ},~\angle OAA_{2}=\angle OAD=\angle ODA=30^{\circ},
\angle OAA_{3}=\angle OAD-\angle A_{2}AA_{3}=30^{\circ}-15^{\circ}=15^{\circ}.
Поэтому треугольники OAA_{3}
и A_{2}A_{3}A
равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Следовательно,
R=OA=AA_{2}=2.
Источник: Соросовская олимпиада. — 1995-96, II, 1-й тур, 9 класс