2738. Диагонали AD
, BE
и CF
вписанного шестиугольника ABCDEF
пересекаются в одной точке. Известно, что стороны AB
, BC
, CD
, DE
и EF
равны 1, 2, 3, 4 и 5 соответственно. Найдите сторону AF
.
Ответ. \frac{15}{8}
.
Решение. Пусть указанные диагонали пересекаются в точке M
. Обозначим AF=x
, MA=t
. Вписанные углы AFC
и ADC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle MFA=\angle CFA=\angle ADC=\angle MDC.
Значит, треугольники AMF
и CMD
подобны по двум углам, поэтому
\frac{AM}{CM}=\frac{AF}{CD}~\Rightarrow~CM=\frac{CD\cdot AM}{AF}=\frac{3\cdot t}{x}=\frac{3t}{x}.
Из подобных треугольников AMB
и EMD
аналогично получаем, что
ME=\frac{MA\cdot DE}{AB}=4t,
а из подобных треугольников BMC
и FME
—
ME=\frac{MC\cdot EF}{BC}=\frac{\frac{3t}{x}\cdot5}{2}=\frac{15t}{2x}.
Значит, 4t=\frac{15t}{2x}
. Отсюда находим, что AF=x=\frac{15}{8}
.