2740. В трапеции с основаниями 3 и 4 диагональ равна 6 и является биссектрисой одного из углов. Может ли эта трапеция быть равнобедренной?
Ответ. Не может.
Указание. Рассмотрите два случая и воспользуйтесь неравенством треугольника и теоремой косинусов.
Решение. Пусть AD=4
и BC=3
— основания равнобедренной трапеции ABCD
с диагональю AC=6
.
Если AC
— биссектриса угла A
при большем основании AD
, то
\angle ACB=\angle CAD=\angle BAC,
поэтому треугольник ABC
— равнобедренный. Тогда AB=BC=3
, и по неравенству треугольника AC\lt AB+BC=3+3=6
, что противоречит условию.
Если AC
— биссектриса угла C
при меньшем основании трапеции, то аналогично докажем, что CD=AD=4
. По теореме косинусов из треугольника ACD
находим, что
\cos\angle ADC=\frac{AD^{2}+CD^{2}-AC^{2}}{2AD\cdot CD}=\frac{16+16-36}{32}\lt0,
поэтому угол ADC
— тупой, что также невозможно.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1993, предварительный экзамен, № 3, вариант 1