2742. Две окружности с центрами A
и B
и радиусами соответственно 2 и 1 касаются друг друга. Точка C
лежит на прямой, касающейся каждой из окружностей, и находится на расстоянии \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}
от середины отрезка AB
. Найдите площадь S
треугольника ABC
, если известно, что S\gt2
.
Ответ. \frac{15\sqrt{2}}{8}
.
Указание. Рассмотрите следующие случаи.
1) Окружности касаются внутренним образом.
2) Окружности касаются внешним образом в точке K
, а точка C
лежит на их общей касательной, проходящей через точку K
.
3) Окружности касаются внешним образом в точке K
, а точка C
лежит на их общей касательной, не проходящей через точку K
. При этом возможны два случая расположения точки C
относительно середины отрезка общей внешней касательной, заключённого между точками касания.
Решение. Пусть M
— середина отрезка AB
. Предположим, что окружности касаются внутренним образом в точке K
. Тогда CK
— высота треугольника ABC
. Поэтому
CK=\sqrt{CM^{2}-KM^{2}}=\sqrt{\frac{27}{8}-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{4},
S=\frac{1}{2}AB\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{3}{8}\cdot\sqrt{2}\lt2.
Значит, окружности не могут касаться внутренним образом.
Пусть окружности касаются внешним образом в точке K
, а точка C
лежит на их общей касательной, проходящей через точку K
. Тогда CK
— высота треугольника ABC
, поэтому
CK=\sqrt{CM^{2}-KM^{2}}=\sqrt{\frac{27}{8}-\frac{1}{4}}=\frac{5\sqrt{2}}{4},
S=\frac{1}{2}AB\cdot CK=\frac{1}{2}\cdot3\cdot\frac{5\sqrt{2}}{4}=\frac{15\sqrt{2}}{8}\gt2.
Пусть окружности касаются внешним образом в точке K
, а точка C
лежит на прямой, касающейся окружностей с центрами A
и B
в различных точках P
и Q
соответственно. Тогда
PQ=\sqrt{(AP+BQ)^{2}-(AP-BQ)^{2}}=\sqrt{9-1}=2\sqrt{2}.
Если \alpha
— угол между прямыми AB
и PQ
, то
\sin\alpha=\frac{1}{3},~\cos\alpha=\frac{2\sqrt{2}}{3}.
Если F
— проекция точки M
на эту прямую, то MF
— средняя линия прямоугольной трапеции APQB
с основаниями AP=2
и BQ=1
, поэтому
MF=\frac{1}{2}(AP+BQ)=\frac{3}{2},~CF=\sqrt{CM^{2}-MF^{2}}=\sqrt{\frac{27}{8}-\frac{9}{4}}=\frac{3\sqrt{2}}{4}.
Если точка C
лежит между F
и Q
, то
CQ=QF-CF=\frac{1}{2}PQ-CF=\sqrt{2}-\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Если точка C
лежит между F
и P
, то
CQ=QF+CF=\frac{1}{2}PQ+CF=\sqrt{2}+\frac{3\sqrt{2}}{4}=\frac{7\sqrt{2}}{4}.
Через точку Q
проведём прямую, параллельную AB
. Пусть N
— точка пересечения этой прямой с высотой CD
треугольника ABC
. Тогда
CD=CN+DN=CQ\sin\alpha+BQ\cos\alpha.
Если точка C
лежит между F
и Q
, то
CD=CQ\sin\alpha+BQ\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{12}+\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{3\sqrt{2}}{4},
S=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{9\sqrt{2}}{8}\lt2.
Если точка C
лежит между F
и P
, то
CD=CQ\sin\alpha+BQ\cos\alpha=\frac{7\sqrt{2}}{12}+\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{5\sqrt{2}}{4},
S=\frac{1}{2}AB\cdot CD=\frac{15\sqrt{2}}{8}\gt2.