2746. Дан треугольник ABC
, в котором AB\gt BC
. Касательная к его описанной окружности в точке B
пересекает прямую AC
в точке P
. Точка D
симметрична точке B
относительно точки P
, а точка E
симметрична точке C
относительно прямой BP
. Докажите, что четырёхугольник ABED
— вписанный.
Решение. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что \angle BAC=\angle PBC
. Значит, треугольники PBC
и PAB
подобны по двум углам, поэтому \frac{PB}{PC}=\frac{PA}{PB}
, а так как PB=PD
, то \frac{PD}{PC}=\frac{PA}{PD}
.
В треугольниках PDC
и PAD
угол при вершине P
общий, значит, они подобны, по двум сторонами углу между ними. Тогда \angle PDC=\angle PAD
.
Точки E
и C
симметричны относительно прямой BD
, поэтому
\angle BED=\angle BCD=180^{\circ}-\angle CBD-\angle CDB=
=180^{\circ}-\angle CAB-\angle CAD=180^{\circ}-\angle BAD,
т. е. \angle BAD+\angle BED=180^{\circ}
. Следовательно, четырёхугольник ABED
— вписанный.
Автор: Филимонов В. П.
Источник: Всероссийская олимпиада школьников. — 2007-2008, XXXIV, окружной этап, 9 класс