2767. В равнобедренном треугольнике высоты, опущенные на основание и боковую сторону, равны соответственно m
и n
. Найдите стороны треугольника.
Ответ. \frac{2m^{2}}{\sqrt{4m^{2}-n^{2}}}
, \frac{2m^{2}}{\sqrt{4m^{2}-n^{2}}}
, \frac{2mn}{\sqrt{4m^{2}-n^{2}}}
.
Указание. Составьте систему уравнений относительно искомых сторон.
Решение. Пусть AB=AC=x
— боковая сторона, BC=y
— основание равнобедренного треугольника ABC
, AM=m
и CN=n
— его высоты. Тогда
AB^{2}-BM^{2}=AM^{2},~\frac{AM}{AB}=\sin\angle B=\frac{CN}{BC}.
Таким образом имеем систему
\syst{x^{2}-\frac{1}{4}y^{2}=m^{2}\\\frac{m}{x}=\frac{n}{y},\\}
из которой находим, что
x=\frac{2m^{2}}{\sqrt{4m^{2}-n^{2}}},~y=\frac{2mn}{\sqrt{4m^{2}-n^{2}}}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1994, № 4, вариант 1