2769. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна b
. Расстояние между основаниями биссектрис треугольника, проведённых к боковым сторонам, равно m
. Найдите основание треугольника.
Ответ. \frac{mb}{b-m}
.
Указание. Докажите, что прямая, проходящая через основания указанных биссектрис, параллельна основанию треугольника и примените свойство биссектрисы треугольника.
Решение. Пусть BM
и CK
— биссектрисы равнобедренного треугольника ABC
, с основанием BC
, причём AB=AC=b
, MK=m
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AK}{KB}=\frac{AC}{BC}=\frac{AB}{BC}=\frac{AM}{MC},
поэтому MK\parallel BC
. Значит,
\angle KMB=\angle MBC=\angle KBM.
Поэтому треугольник BKM
— равнобедренный, BK=MK=m
.
Обозначим BC=x
. Тогда \frac{b}{x}=\frac{b-m}{m}
, откуда находим, что
x=\frac{mb}{b-m}.