2771. Прямоугольные треугольники ABC
и ABD
имеют общую гипотенузу AB=5
. Точки C
и D
расположены по разные стороны от прямой, проходящей через точки A
и B
, BC=BD=3
. Точка E
лежит на AC
, EC=1
. Точка F
лежит на AD
, FD=2
. Найдите площадь пятиугольника ECBDF
.
Ответ. 9,12.
Указание. S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}AE\cdot AF\sin2\angle BAC
.
Решение. Из прямоугольных треугольников ABC
и ADB
по теореме Пифагора находим, что AC=AD=4
. Поэтому AE=3
и AF=2
. Обозначим \angle BAC=\angle BAD=\alpha
. Тогда
\sin\alpha=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5}.
Значит,
S_{\triangle AEF}=\frac{1}{2}AE\cdot AF\sin2\alpha=AE\cdot AF\sin\alpha\cos\alpha=3\cdot2\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{72}{25}.
Следовательно,
S_{ECBDF}=2S_{\triangle ABC}-S_{\triangle AEF}=12-\frac{72}{25}=\frac{228}{25}=9{,}12.