2783. Четырёхугольник ABCD
таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Диаметр описанной окружности совпадает с диагональю AC
. Докажите, что модули разностей длин его противоположных сторон равны.
Указание. AC
— общая гипотенуза прямоугольных треугольников ABC
и ADC
.
Решение. Поскольку в четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны, т. е.
AB+CD=AD+BC,
По условию точки B
и D
лежат на окружности с диаметром AC
, поэтому
\angle ABC=\angle ADC=90^{\circ}.
По теореме Пифагора
AB^{2}+BC^{2}=AC^{2},~CD^{2}+AD^{2}=AC^{2},
поэтому AB^{2}+BC^{2}=CD^{2}+AD^{2}
, откуда
AB^{2}-CD^{2}=AD^{2}-BC^{2},
(AB+CD)(AB-CD)=(AD+BC)(AD-BC),
а так как AB+CD=AD+BC
, то
AB-CD=AD-BC.
что и требовалось доказать.