2784. Четырёхугольник ABCD
таков, что в него можно вписать и около него можно описать окружности. Разность сторон AD
и BC
равна разности сторон AB
и CD
. Докажите, что диагональ AC
— диаметр описанной окружности.
Указание. Докажите, что AC
— серединный перпендикуляр к отрезку BD
.
Решение. Поскольку в четырёхугольник ABCD
можно вписать окружность, суммы его противоположных сторон равны, т. е.
AB+CD=AD+BC,
а так как по условию
AB-CD=AD-BC,
то AB=AD
и CD=BC
. Поскольку точки A
и C
равноудалены от концов отрезка BD
, AC
— серединный перпендикуляр к BD
, а так как точки B
и D
лежат на описанной около четырёхугольника ABCD
окружности, то AC
— диаметр этой окружности.
Источник: Вступительный экзамен на геологический факультет МГУ. — 1994 (основной экзамен), № 8, вариант 2