2785. В выпуклом четырёхугольнике ABCD
отрезок CM
, соединяющий вершину C
с точкой M
, расположенной на стороне AD
, пересекает диагональ BD
в точке K
. Известно, что CK:KM=2:1
, CD:DK=5:3
и \angle ABD+\angle ACD=180^{\circ}
. Найдите отношение стороны AB
к диагонали AC
.
Ответ. 5:9
.
Указание. Рассмотрите треугольники ABD
, ACD
, MDK
, MDC
и воспользуйтесь теоремой синусов.
Решение. Обозначим \angle ADB=\alpha
, \angle ADC=\beta
. Рассмотрим треугольники ABD
и ACD
. По теореме синусов
\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{AD}{\sin\angle ABD}=\frac{AD}{\sin(180^{\circ}-\angle ACD)}=\frac{AD}{\sin\angle ACD}=\frac{AC}{\sin\beta},
откуда находим, что \frac{AB}{AC}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}
.
Пусть MK=x
, CD=5y
, \angle CMD=\gamma
. Рассмотрим треугольники MDK
и MDC
. По теореме синусов
\frac{x}{\sin\alpha}=\frac{3y}{\sin\gamma},~\frac{3x}{\sin\beta}=\frac{5y}{\sin\gamma},
откуда находим, что
\sin\alpha=\frac{x\sin\gamma}{3y},~\sin\beta=\frac{3x\sin\gamma}{5y}.
Следовательно,
\frac{AB}{AC}=\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{5}{9}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — 1994, вариант 1, № 6