2789. Окружность, центр которой лежит на гипотенузе AB
прямоугольного треугольника ABC
, касается двух катетов AC
и BC
соответственно в точках E
и D
. Найдите угол ABC
, если известно, что AE=1
, BD=3
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Указание. Пусть O
— центр окружности. Рассмотрите подобные треугольники BDO
и OEA
.
Решение. Пусть O
— центр окружности, x
— её радиус. Тогда OD=OE=x
, OD\perp BC
и OE\perp AC
. Прямоугольные треугольники BDO
и OEA
подобны, поэтому
\frac{BD}{DO}=\frac{OE}{AE},~\mbox{или}~\frac{3}{x}=\frac{x}{1},
откуда x=\sqrt{3}
. Значит
\tg\angle ABC=\frac{DO}{BD}=\frac{\sqrt{3}}{3}.
Следовательно, \angle ABC=30^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен в институт стран Азии и Африки МГУ. — 1994 № 3, вариант 1