2794. В окружность радиуса R
вписан четырёхугольник KLMN
, Q
— точка пересечения его диагоналей, KL=MN
. Высота, опущенная из точки L
на сторону KN
, равна 6, KN+LM=24
, а площадь треугольника LMQ
равна 2. Найдите стороны четырёхугольника и радиус окружности R
.
Ответ. LM=4
, KN=20
, KL=MN=10
; R=5\sqrt{5}
.
Указание. Докажите, что данный четырёхугольник — равнобедренная трапеция. Обозначьте её основания через x
и y
. Воспользуйтесь подобием треугольников LQM
и NQK
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1995 (основной экзамен), № 4, вариант 2