2795. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна c
, а острый угол равен \alpha
. Найдите длину биссектрисы, проведённой из вершины прямого угла.
Ответ. \frac{c\sin2\alpha}{2\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой синусов.
Решение. Пусть CD
— биссектриса прямоугольного треугольника ABC
, проведённая из вершины прямого угла C
, AB=c
, \angle A=\alpha
. Тогда
AC=AB\cos\angle A=c\cos\alpha,
\angle ADC=\angle ABC+\angle BCD=90^{\circ}-\alpha+45^{\circ}=135^{\circ}-\alpha.
По теореме синусов
\frac{CD}{\sin\angle A}=\frac{AC}{\sin\angle ADC},
откуда находим, что
CD=\frac{AC\sin\angle A}{\sin\angle ADC}=\frac{c\cos\alpha\sin\alpha}{\sin(135^{\circ}-\alpha)}=\frac{c\sin2\alpha}{2\sin\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)}.
Источник: Вступительный экзамен на физический факультет МГУ. — 1995 (предварительный экзамен, март), № 4, вариант 1