2796. Трапеция ABCD
(BC\parallel AD
) вписана в окружность. Известно, что BC=a
, AD=b
, \angle CAD=\alpha
. Найдите радиус окружности.
Ответ. \frac{\sqrt{(b-a)^{2}+(b+a)^{2}\tg^{2}\alpha}}{4\sin\alpha}
.
Указание. Окружность, описанная около трапеции ABCD
, является также описанной окружностью треугольника ACD
. Для нахождения её радиуса воспользуйтесь обобщённой теоремой синусов.
Решение. Предположим, что a\lt b
. Пусть K
— проекция вершины C
на основание AD
трапеции ABCD
. Тогда
DK=\frac{AD-BC}{2}=\frac{b-a}{2},~AK=\frac{AD+BC}{2}=\frac{b+a}{2},
CK=AK\tg\angle CAD=\frac{b+a}{2}\cdot\tg\alpha,
CD=\sqrt{DK^{2}+CK^{2}}=\sqrt{\left(\frac{b-a}{2}\right)^{2}+\left(\frac{b+a}{2}\cdot\tg\alpha\right)^{2}}.
Окружность, описанная около трапеции ABCD
, является также описанной окружностью треугольника ACD
. Пусть R
— её радиус. Тогда
R=\frac{CD}{2\sin\angle CAD}=\frac{\sqrt{(b-a)^{2}+(b+a)^{2}\cdot\tg^{2}\alpha}}{4\sin\alpha}.