2799. В треугольнике даны два угла \alpha
и \beta
и радиус R
описанной окружности. Найдите высоту, опущенную из вершины третьего угла треугольника.
Ответ. 2R\sin\alpha\sin\beta
.
Указание. Воспользуйтесь обобщённой теоремой синусов.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, \angle A=\alpha
, \angle B=\beta
, CH
— высота треугольника. Один из углов \alpha
и \beta
— острый. Для определённости предположим, что это угол \alpha
. Тогда
CH=AC\sin\angle A=AC\sin\alpha,~AC=2R\sin\angle B=2R\sin\beta.
Следовательно,
CH=2R\sin\alpha\sin\beta.