2800. В окружности проведены диаметр MN
и хорда AB
, параллельная диаметру MN
. Касательная к окружности в точке M
пересекает прямые NA
и NB
соответственно в точках P
и Q
. Известно, что MP=p
, MQ=q
. Найдите MN
.
Ответ. \sqrt{pq}
.
Указание. Прямоугольные треугольники MQN
и MNP
подобны.
Решение. Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны, поэтому равны опирающиеся на них вписанные углы. Кроме того, \angle MBN=90^{\circ}
, поэтому углы BMN
и MQN
равны (каждый из них составляет 90^{\circ}
в сумме с углом MNQ
). Значит,
\angle PNM=\angle ANM=\angle BMN=\angle MQN.
Поэтому прямоугольные треугольники MQN
и MNP
подобны по двум углам. Следовательно, \frac{PM}{MN}=\frac{MN}{QM}
, откуда
MN^{2}=PM\cdot QM=pq.
