2814. На стороне AB
треугольника ABC
взята точка K
, а на стороне BC
— точки M
и N
так, что AB=4AK
, CM=BN
, MN=2BN
. Найдите отношения AO:ON
и KO:OM
, где O
— точка пересечения прямых AN
и KM
.
Ответ. 1:2
; 1:8
.
Указание. Докажите, что CM:MN:BN=1:2:1
. Через точку N
проведите прямую, параллельную AC
.
Решение. Заметим, что точка M
не может лежать на отрезке BN
, так как это противоречило бы условию MN=2BN
. Если же точка N
лежит на отрезке BM
, то обозначив CM=BN=a
, найдём, что MN=2BN=2a
. Значит, CM:MN:BN=1:2:1
.
Через точку N
проведём прямую, параллельную AC
. Пусть P
— точка её пересечения со стороной AB
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{BP}{BK}=\frac{BN}{BM}=\frac{1}{3},~\frac{AO}{ON}=\frac{AK}{KP}=\frac{1}{2}.
Из подобия треугольников BNP
и BMK
находим, что PN=\frac{1}{3}KM
, а из подобия треугольников AOK
и ANP
— OK=\frac{1}{3}PN
. Поэтому OK=\frac{1}{9}KM
. Следовательно, \frac{KO}{OM}=\frac{1}{8}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет почвоведения МГУ. — 1995 (заочный тур предварительного экзамена), № 7