2815. В треугольнике ABC
угол при вершине A
равен 60^{\circ}
. Через точки B
, C
и точку D
, лежащую на стороне AB
, проведена окружность, пересекающая сторону AC
в точке E
. Найдите AE
, если AD=3
, BD=1
и EC=4
. Найдите радиус окружности.
Ответ. 2; \sqrt{7}
.
Указание. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно. Треугольник ABE
— прямоугольный.
Решение. Обозначим AE=x
. Произведение всей секущей на её внешнюю часть для данной точки и данной окружности постоянно, поэтому
AE\cdot AC=AD\cdot AB,~\mbox{или}~x(x+4)=12,
откуда находим, что AE=x=2
.
В треугольнике ABE
угол между сторонами AE
и AB=2AE
равен 60^{\circ}
. Значит, этот треугольник — прямоугольный. Тогда
\angle BEC=\angle BEA=90^{\circ}.
Следовательно, BC
— диаметр окружности. По теореме косинусов из треугольника ABC
находим, что
BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos60^{\circ}}=\sqrt{16+36-24}=2\sqrt{7},
а так как BC
— диаметр окружности, то её радиус равен \sqrt{7}
.