2825. В трапеции KLMN
известны боковые стороны KL=36
, MN=34
, верхнее основание LM=10
и \cos\angle KLM=-\frac{1}{3}
. Найдите диагональ LN
.
Ответ. 36
, 8\sqrt{19}
.
Указание. Через вершину L
проведите прямую, параллельную боковой стороне MN
. Рассмотрите два случая: угол MNK
— тупой или острый.
Решение. Поскольку \cos\angle KLM=-\frac{1}{3}\lt0
, угол KLM
тупой, поэтому угол LKN
острый и \cos\angle LKN=\frac{1}{3}
. Опустим перпендикуляр LP
на основание KN
. Тогда
KP=KL\cos\angle LKN=36\cdot\frac{1}{3}=12,
LP=KL\sin\angle LKN=36\sqrt{1-\frac{1}{9}}=24\sqrt{2}.
Через вершину L
проведём прямую, параллельную боковой стороне MN
, до пересечения с прямой KN
в точке Q
. Тогда
PQ=\sqrt{LQ^{2}-LP^{2}}=\sqrt{MN^{2}-LP^{2}}=\sqrt{34^{2}-(24\sqrt{2})^{2}}=2.
Если точка Q
лежит между P
и N
, то
PN=PQ+QN=2+10=12.
В этом случае
LN=\sqrt{LP^{2}+PN^{2}}=\sqrt{(24\sqrt{2})^{2}+12^{2}}=36.
Если точка P
лежит между Q
и N
, то
PN=QN-QP=10-2=8.
В этом случае
LN=\sqrt{LP^{2}+PN^{2}}=\sqrt{(24\sqrt{2})^{2}+8^{2}}=8\sqrt{19}.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — (отделение экономики) 1995, № 3, вариант 1