2827. В треугольнике ABC
сторона AB=6
, \angle BAC=30^{\circ}
, радиус описанной окружности равен 5. Найдите сторону AC
.
Ответ. AC=3\sqrt{3}\pm4
.
Указание. Примените обобщённую теорему синусов и теорему косинусов.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда
BC=2R\sin\angle BAC=2R\sin30^{\circ}=R=5.
Обозначим AC=x
. По теореме косинусов
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}-2AB\cdot AC\cos30^{\circ},~\mbox{или}~25=36+x^{2}-6x\sqrt{3}.
Из этого уравнения находим, что x=3\sqrt{3}\pm4
. Для каждого найденного x
сумма двух меньших сторон треугольника больше третьей стороны. Следовательно, AC=3\sqrt{3}+4
или AC=3\sqrt{3}-4
.
Источник: Вступительный экзамен на экономический факультет МГУ. — (отделение менеджмента) 1995, № 5, вариант 1