2831. Сторона AB
треугольника ABC
равна 3, BC=2AC
, E
— точка пересечения продолжения биссектрисы CD
данного треугольника с описанной около него окружностью, DE=1
. Найдите AC
.
Ответ. \sqrt{3}
.
Указание. Треугольник ADE
— равнобедренный, четырёхугольник ACBE
— равнобедренная трапеция.
Решение. Обозначим AC=x
. По свойству биссектрисы треугольника
\frac{AD}{BD}=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{2},
поэтому AD=1
, BD=2
. Треугольник ADE
— равнобедренный, так как AD=DE=1
, поэтому
\angle AEC=\angle BAE=\angle BCE,
значит, AE\parallel BC
, а так как
\angle ACE=\angle BCE=\angle BAE=\angle AEC,
то треугольник CAE
также равнобедренный. Следовательно, ACBE
— равнобедренная трапеция, в которой
BE=AC=AE=x,~BC=2x,~AB=CE=3.
Пусть AK
— высота трапеции ACBE
. Тогда
CK=\frac{BC-AE}{2}=\frac{2x-x}{2}=\frac{x}{2},
BK=\frac{BC+AE}{2}=\frac{2x+x}{2}=\frac{3x}{2},
AK^{2}=AC^{2}-CK^{2}=x^{2}-\frac{x^{2}}{4}=\frac{3x^{2}}{4},
BK^{2}+AK^{2}=AB^{2}=9,~\mbox{или}~\frac{9x^{2}}{4}+\frac{3x^{2}}{4}=3x^{2}=9,
откуда AC=x=\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен в институт стран Азии и Африки МГУ. — 1995, № 4, вариант 1