2833. В треугольнике ABC
медианы AM
и CL
перпендикулярны, BC=a
, AC=b
. Найдите площадь треугольника ABM
.
Ответ. \frac{1}{4}\sqrt{(4b^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2})}
.
Указание. Медианы треугольника делятся точкой пересечения в отношении 2:1
, считая от вершины треугольника. Медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников.
Решение. Пусть медианы AM
и CL
пересекаются в точке O
. Обозначим OM=x
, OL=y
. Тогда по теореме о медианах AO=2x
, CO=2y
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников AOC
и COM
находим, что
4x^{2}+4y^{2}=b^{2}~\mbox{и}~x^{2}+4y^{2}=\frac{1}{4}a^{2}.
Из полученной системы уравнений находим, что
x^{2}=\frac{4b^{2}-a^{2}}{12},~y^{2}=\frac{a^{2}-b^{2}}{12}.
Известно, что медианы делят треугольник на 6 равновеликих треугольников, поэтому
S_{\triangle ABM}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\cdot6\cdot S_{\triangle COM}=3\cdot\frac{1}{2}OM\cdot OC=
=3\cdot\frac{1}{2}\cdot x\cdot2y=3xy=\frac{1}{4}\sqrt{(4b^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2})}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1995 (основной экзамен), № 3, вариант 1