2837. Прямая, проходящая через точку пересечения медиан треугольника ABC
, пересекает стороны BA
и BC
в точках A'
и C'
соответственно. При этом BA'\lt BA=3
, BC=2
, BA'\cdot BC'=3
. Найдите BA'
.
Ответ. \frac{3}{2}
.
Указание. Обозначьте BC'=x
, BA'=y
. Через вершину A
проведите прямую, параллельную BC
. Продолжите A'C'
и медиану BN
до пересечения с проведённой прямой и, используя подобие полученных треугольников, составьте систему уравнений относительно x
и y
.
Решение. Пусть M
— середина стороны AC
, O
— точка пересечения медиан треугольника ABC
. Обозначим BC'=x
, BA'=y
. Через вершину A
проведём прямую, параллельную BC
. Обозначим через K
и N
точки пересечения проведённой прямой с прямыми C'A'
и BM
соответственно.
Из равенства треугольников AMN
и CMB
следует, что AN=BC=2
. Так как
MN=BM=3OM,~ON=BM+OM=4OM,~BO=2OM,
то NO=2BO
. Из подобия треугольников KON
и C'OB
следует, что
KN=2BC'=2x,
поэтому AK=KN-AN=2x-2
. Наконец, из подобия треугольников KA'A
и C'A'B
следует, что
\frac{AK}{BC'}=\frac{AA'}{BA'},~\mbox{или}~\frac{2x-2}{x}=\frac{3-y}{y}.
Кроме того, по условию задачи xy=3
. Из полученной системы
\syst{\frac{2x-2}{x}=\frac{3-y}{y}\\xy=3\\}
находим, что y=\frac{3}{2}
или y=3
. Условию BA'\lt BA=3
удовлетворяет только y=\frac{3}{2}
.