2839. В треугольнике ABC
известно, что BC=4
, \angle ACB=30^{\circ}
, радиус описанной окружности равен 6. Найдите среднюю линию, параллельную стороне AC
, и расстояние между точками, в которых прямая, содержащая эту среднюю линию, пересекает описанную окружность.
Ответ. \sqrt{3}+2\sqrt{2}
, 4\sqrt{3}
.
Указание. С помощью теоремы косинусов составьте уравнение относительно стороны AC
. Опустите перпендикуляры из центра окружности на сторону BC
и на прямую, содержащую указанную среднюю линию.
Решение. Пусть R
— радиус описанной окружности. Тогда
AB=2R\sin\angle ACB=12\cdot\frac{1}{2}=6.
Обозначим AC=x
. По теореме косинусов
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos30^{\circ},
или
36=x^{2}+16-4x\sqrt{3},~\mbox{или}~x^{2}-4x\sqrt{3}-20=0,
откуда находим, что x=2\sqrt{3}+4\sqrt{2}
.
Пусть M
и N
— середины сторон AB
и BC
соответственно. Тогда
MN=\frac{1}{2}AC=\frac{x}{2}=\sqrt{3}+2\sqrt{2}.
Если O
— центр окружности, то OM\perp BC
. Из прямоугольного треугольника OMB
находим, что
OM=\sqrt{OB^{2}-BM^{2}}=\sqrt{R^{2}-\left(\frac{1}{2}BC\right)^{2}}=\sqrt{36-4}=4\sqrt{2}.
Пусть прямая MN
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точках P
и Q
. Опустим перпендикуляр OK
на PQ
. Тогда K
— середина PQ
. Так как PQ\parallel AC
и OK\perp PQ
, то OK\perp AC
, а так как OM\perp BC
, то
\angle KOM=\angle ACB=30^{\circ},
поэтому
OK=OM\cos30^{\circ}=4\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{6}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OKP
находим, что
PK=\sqrt{OP^{2}-OK^{2}}=\sqrt{R^{2}-OK^{2}}=\sqrt{36-24}=2\sqrt{3}.
Следовательно, PQ=2PK=4\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет МГУ. — 1996 (предварительный экзамен, март), № 3, вариант 1