2845. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Хорда CD
первой окружности имеет с хордой EF
второй окружности общую точку M
. Отрезок AB
в три раза больше отрезка CM
, который, в свою очередь, в два раза меньше отрезка MD
и в шесть раз меньше отрезка MF
. Какие значения может принимать длина отрезка AM
, если известно, что BM=2
, а отрезок AB
в девять раз больше отрезка EM
?
Ответ. 4 или 1.
Указание. Докажите, что точки C
, D
, E
и F
лежат на одной окружности. Затем, пользуясь теоремой о произведениях отрезков пересекающихся хорд, докажите, что если три окружности попарно пересекаются и их центры не лежат на одной прямой, то три общие хорды (или их продолжения) каждой пары этих окружностей пересекаются в одной точке.
Решение. Пусть точки C
и D
лежат на окружности S_{1}
, а точки E
и F
— на окружности S_{2}
. Обозначим CM=3a
. Тогда AB=9a
, MD=6a
, MF=18a
, EM=a
. Поскольку
DM\cdot MC=6a\cdot3a=18a^{2}=a\cdot18a=EM\cdot FM,
то точки D
, E
, C
и F
лежат на одной окружности (см. задачу 114). Обозначим её S_{3}
. Докажем, что хорда AB
проходит через точку M
.
Через точки A
и M
проведём прямую, вторично пересекающую окружность S_{2}
а точке B_{1}
. Тогда хорды AB_{1}
и EF
окружности S_{2}
пересекаются в точке M
, поэтому
AM\cdot MB_{1}=EM\cdot MF=CM\cdot MD.
Значит точки A
, B_{1}
, C
и D
лежат на одной окружности, а так как через точки A
, C
и D
проходит единственная окружность S_{1}
, то точка B_{1}
лежит на окружности S_{1}
. Таким образом, точка B_{1}
является общей точкой окружностей S_{1}
и S_{2}
, отличной от точки A
. Значит, точка B_{1}
совпадает с точкой B
. Следовательно, хорда AB
проходит через точку пересечения хорд CD
и EF
.
Поскольку хорды AB
и CD
окружности S_{1}
пересекаются в точке M
, То
AM\cdot MB=DM\cdot MC,~\mbox{или}~(9a-2)\cdot2=18a^{2},
откуда находим, что a=\frac{2}{3}
или a=\frac{1}{3}
. Следовательно, AM=4
или AM=1
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет вычислительной математики и кибернетики (ВМК) МГУ. — 1996 (основной экзамен), № 6, вариант 1