2847. В треугольнике ABC
точка D
лежит на стороне BC
, а точка O
— на отрезке AD
. Известно, что точки C
, D
и O
лежат на окружности, центр которой находится на стороне AC
, 4AC=3\sqrt{2}AB
, угол DAC
в два раза больше угла BAD
, а угол OCA
в два раза меньше угла OCB
. Найдите косинус угла ABC
.
Ответ. -\frac{1}{\sqrt{10}}
.
Указание. Обозначьте \angle ACO=\alpha
, \angle DCO=2\alpha
, \angle BAD=\beta
, \angle CAD=2\beta
. Выразите \beta
через \alpha
и примените теорему синусов к треугольнику ABC
.
Решение. Положим
\angle ACO=\alpha,~\angle DCO=2\alpha,~\angle BAD=\beta,~\angle CAD=2\beta.
Пусть CE
— диаметр окружности, проходящей через точки C
, D
и O
. Тогда
\angle ODE=\angle OCE=\alpha,~\angle CDE=90^{\circ},~\angle DEC=90^{\circ}-3\alpha,
а так как DEC
— внешний угол треугольника ADE
, то
\angle DEC=\angle DAE+\angle ADE=\angle DAE+\angle OCE,~\mbox{или}~90^{\circ}-3\alpha=\alpha+2\beta,
откуда \beta=45^{\circ}-2\alpha
. Поэтому
\angle ABC=180^{\circ}-\angle ACB-\angle BAC=180^{\circ}-3\alpha-3\beta=
=180^{\circ}-3\alpha-135^{\circ}+6\alpha=45^{\circ}+3\alpha.
По теореме синусов
\frac{\sin\angle ABC}{\sin\angle ACB}=\frac{AC}{AB},~\mbox{или}~\frac{\sin(45^{\circ}+3\alpha)}{\sin3\alpha}=\frac{3\sqrt{2}}{4}.
После очевидных преобразований получим, что
3\sqrt{2}\sin3\alpha=2\sqrt{2}(\sin3\alpha+\cos3\alpha),~\sin3\alpha=2\cos3\alpha,~\tg3\alpha=2,
откуда находим, что
\cos^{2}3\alpha=\frac{1}{1+\tg^{2}3\alpha}=\frac{1}{5},
а так как \tg3\alpha=2
, то 3\alpha\lt90^{\circ}
, поэтому
\cos3\alpha=\frac{1}{\sqrt{5}},~\sin3\alpha=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Следовательно,
\cos\angle ABC=\cos(45^{\circ}+3\alpha)=\cos45^{\circ}\cos3\alpha-\sin45^{\circ}\sin3\alpha=
=\frac{\sqrt{2}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{10}}.