2850. В окружности проведены хорды AC
и BD
, пересекающиеся в точке E
, причём касательная к окружности, проходящая через точку A
, параллельна BD
. Известно, что CD:ED=3:2
и S_{\triangle ABE}=8
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 18.
Указание. Треугольник ACB
подобен треугольнику ABE
, а треугольник ABE
— треугольнику DCE
.
Решение. Диаметр окружности, проведённый через точку A
, перпендикулярен данной касательной, поэтому он перпендикулярен и хорде BD
, а значит, делит её пополам. Следовательно, треугольник ABD
равнобедренный, поэтому дуги AB
и AD
, не содержащие точку C
, равны, значит,
\angle ABE=\angle ABD=\angle ACD.
Треугольники ACB
и ABE
подобны по двум углам, причём коэффициент подобия равен \frac{AB}{AE}
, а из подобия треугольников ABE
и DCE
следует, что
\frac{AB}{AE}=\frac{CD}{DE}=\frac{3}{2}.
Поэтому
S_{\triangle ABC}=\left(\frac{AB}{AE}\right)^{2}S_{\triangle ABE}=\frac{9}{4}\cdot8=18.