2856. Две окружности пересекаются в точках A
и B
. Через точку A
проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C
, а вторую — в точке D
. Пусть M
и N
— середины дуг BC
и BD
, не содержащих точку A
, а K
— середина отрезка CD
. Докажите, что \angle MKN=90^{\circ}
. (Можно считать, что точки C
и D
лежат по разные стороны от точки A
.)
Указание. Примените центральную симметрию.
Решение. При симметрии относительно точки K
точка C
переходит в точку D
, а точка M
— в некоторую точку M_{1}
, причём отрезки DM_{1}
и CM
равны и параллельны. Тогда BM=CM=DM_{1}
, BN=DN
. Обозначим \angle CDM_{1}=\alpha
, \angle CDN=\beta
. Тогда
\angle ACM=\alpha,~\angle ABM=180^{\circ}-\alpha,~\angle ABN=180^{\circ}-\beta,
\angle MBN=360^{\circ}-(180^{\circ}-\alpha)-(180^{\circ}-\beta)=\alpha+\beta=\angle NDM_{1}.
Значит, треугольники MBN
и M_{1}DN
равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому NM=NM_{1}
. В равнобедренном треугольнике MNM_{1}
медиана NK
является высотой, следовательно, \angle MKN=90^{\circ}
.