2859. Стороны четырёхугольника равны a
, b
, c
и d
. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна \sqrt{abcd}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов и свойством описанного четырёхугольника.
Решение. Пусть угол между сторонами a
и b
равен \alpha
. Тогда угол между сторонами c
и d
равен 180^{\circ}-\alpha
. Выразим двумя способами по теореме косинусов квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов:
a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=c^{2}+d^{2}+2cd\cos(180^{\circ}-\alpha),~\mbox{или}
a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=c^{2}+d^{2}+2cd\cos\alpha.
Отсюда находим, что
2(ab+cd)\cos\alpha=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.
Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то a+c=b+d
, или a-b=d-c
. Тогда
a^{2}+b^{2}-2ab=c^{2}+d^{2}-2cd~\Rightarrow~a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2(ab-cd)\Rightarrow~
~\Rightarrow~2(ab+cd)\cos\alpha=2(ab-cd)~\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{ab-cd}{ab+cd}.
Пусть S
— площадь данного четырёхугольника. Тогда
S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha+\frac{1}{2}cd\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin\alpha=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=
=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\left(\frac{ab-cd}{ab+cd}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(ab-cd)^{2}-(ab+cd)^{2}}=\sqrt{abcd}.