2859. Стороны четырёхугольника равны a
, b
, c
и d
. Известно, что в этот четырёхугольник можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Докажите, что его площадь равна \sqrt{abcd}
.
Указание. Воспользуйтесь теоремой косинусов и свойством описанного четырёхугольника.
Решение. Пусть угол между сторонами a
и b
равен \alpha
. Тогда угол между сторонами c
и d
равен 180^{\circ}-\alpha
. Выразим двумя способами по теореме косинусов квадрат диагонали, соединяющей вершины двух других углов:
a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=c^{2}+d^{2}+2cd\cos(180^{\circ}-\alpha),~\mbox{или}
a^{2}+b^{2}-2ab\cos\alpha=c^{2}+d^{2}+2cd\cos\alpha.
Отсюда находим, что
2(ab+cd)\cos\alpha=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.
Поскольку в четырёхугольник можно вписать окружность, то a+c=b+d
, или a-b=d-c
. Тогда
a^{2}+b^{2}-2ab=c^{2}+d^{2}-2cd~\Rightarrow~a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}=2(ab-cd)~\Rightarrow
\Rightarrow~2(ab+cd)\cos\alpha=2(ab-cd)~\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{ab-cd}{ab+cd}.
Пусть S
— площадь данного четырёхугольника. Тогда
S=\frac{1}{2}ab\sin\alpha+\frac{1}{2}cd\sin(180^{\circ}-\alpha)=\frac{1}{2}(ab+cd)\sin\alpha=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=
=\frac{1}{2}(ab+cd)\sqrt{1-\left(\frac{ab-cd}{ab+cd}\right)^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{(ab-cd)^{2}-(ab+cd)^{2}}=\sqrt{abcd}.
Источник: Моденов П. С. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. — М.: Советская наука, 1957. — № 142, с. 193
Источник: Пржевальский Е. Собрание геометрических теорем и задач. — М.: Типография Г. Лисснера и Д. Собко, 1909. — № 117, с. 147
Источник: Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. Л. Новые встречи с геометрией. — М.: Наука, 1978. — № 1, с. 75
Источник: Готман Э. Г., Скопец З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом: Пособие для учащихся 9—10 кл. — М.: Просвещение, 1979. — № 266, с. 41
Источник: Понарин Я. П. Элементарная геометрия. — Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М.: МЦНМО, 2004. — с. 91